Secciones Modulares del Cubo


Introducción

El Estudio de la Geometría


"Todos los razonamientos de la geometría y la aritmética, y todas las pruebas de la perspectiva, no servirán de nada al que no sepa ver."

Miguel Angel

La geometría, medida de la Tierra, de todas las formas de la naturaleza en suma. Todas ellas por muy complejas que sean pueden medirse. El punto no tiene medida pero es punto de partida, la línea se mide en una sola dirección, el plano en dos y el volumen en tres. Pero antes de aprender a medir hemos de conocer con total exactitud cual es el objeto de tan justa medida. Y ese descubrimiento de cómo son las formas solo podremos adquirirlo a través de la percepción de su realidad tangible, para posteriormente deducir que la proyección, la sombra o la sección de un volumen es un plano. La intersección de dos planos determinan una línea y dos líneas que se cortan definen un punto. Así todo lo que dibujemos en el plano del papel no será otra cosa que metáfora de la realidad, y solo sabremos interpretarla a través de su conocimiento tridimensional y a eso lo llamamos visión espacial. En realidad un contrasentido que trata de unificar los dos primeros objetivos de la expresión plástica: la educación visual y la percepción espacial.

La geometría es así, la ciencia que unifica dos lenguajes muy diferentes pero íntimamente relacionados: el código de la forma (el dibujo) y el del número (las matemáticas).

Educación Visual y Percepción Espacial


"Dibujar es una mentira que dice la verdad."

Pablo Picaso

Cuando dibujamos, representamos la cosas exclusivamente desde el punto de vista elegido, por lo cual la percepción del objeto dibujado es muy parcial, unilateral y hasta engañosa. Cuanto el objeto dibujado más se acerque a la realidad visible, caso de la perspectiva cónica, más se aleja del conocimiento verbal y conceptual que tenemos de él.

Estas cinco figuras representan un mismo objeto de todos muy conocido, el cubo, pero observado desde distintos punto de vista y resuelto con diferentes códigos de representación: sistema diédrico, perspectivas caballera, isométrica y cónica. Mientras que en la primera imagen de un solo cuadrado no se nos dice toda la verdad, pues bien sabemos que son seis las caras del cubo, al menos no nos presenta ningún otro engaño. En las siguientes figuras aparecen formas no cuadradas, que niegan la idea de lo que entendemos por un cubo: rectángulos, romboides y rombos. Y por fin, en la perspectiva cónica no hay una sola verdad de cómo el cubo verdaderamente es, pues todas las aristas ni son iguales, ni paralelas y no conforman ningún ángulo recto entre sí. De modo que tendremos que admitir la paradoja de que este cubo dibujado mientras más parece ser, menos cubo es.

El Interior del Cubo


El cubo es, de los cinco poliedros regulares el volumen de más fácil comprensión perceptiva aún para los más pequeños, dada la perpendicularidad de sus arista y caras. Desde niños hemos jugado con dados cúbicos y aprendido a numerar sus seis caras. Vivimos en habitaciones de variadas formas cúbicas acotadas también por cuatro paredes, suelo y techo,  sin embargo esta percepción es mucho más compleja por encontrarnos en su interior, limitados por formas cóncavas. El modo como definamos ese espacio vacío rellenándolo para hacerlo habitable determinará nuestro espacio exterior en el cual vivimos gran parte de nuestra vida.

Describimos al cubo como un sólido formado por seis caras cuadradas, que conforman ocho vértices y doce aristas, pero esta definición no es más que la de su corteza, el pellejo, la cáscara que lo recubre.

Bajo la epidermis de los seis cuadrados del cubo, se encuentra lo más interesante de él. Cuesta entender y mas aún llegar a ver triángulos equiláteros dentro del cubo, cuadrados, pentágonos, hexágonos, rectángulos y rombos. Todos ellos con unas medidas y proporciones íntimamente relacionados con su arista. La combinación entre ellas creará infinitas formas de mayor o menor complejidad.

Hemos de abrir, con la misma ilusión de un niño, esa caja cúbica y descubrir que nuevo regalo contiene.

Secciones Modulares del Cubo

Por el interior de un cubo podemos hacer pasar un plano en infinitas posiciones dividiéndolo en dos partes, pero solo cuatro de ellas formas poliedros modulares; es decir, dos partes iguales que tienen la misma superficie y el mismo volumen. Estas cuatro secciones son figuras geométricas básicas: el cuadrado, el rectángulo, el hexágono y el rombo. A partir de aquí y combinándolas entre sí surgirán multitud de formas modulares.

Secciones rectas


El cuadrado

Un plano que corte por el punto medio de dos caras opuestas del cubo y que a su vez sea paralelo a otras dos, forma una sección cuya figura geométrica es un cuadrado de lado igual a la arista del cubo. Como las caras del cubo son seis, tres serán las posiciones que pueda tomar el cuadrado-sección.

El rectángulo

La sección rectangular del cubo quedará definida al cortar por las diagonales de dos caras opuestas. A la fuerza ese plano será perpendicular a las caras cortadas y pasará por otro par de aristas opuestas también. De ello resultará un rectángulo cuyo lado mayor será la diagonal de la cara √2, y el lado menor la arista del cubo. Como cada cara tiene dos diagonales, las posiciones del rectángulo-sección serán seis.

El hexágono

El plano sección de forma hexagonal, corta al cubo por el punto medio de seis de sus doce aristas, quedando las otras seis enteras, tres para cada módulo convergentes en un vértice. El hexágono formado es regular y su lado será igual a la mitad de la diagonal de la cara √2/2. Cuatro serán sus posiciones en el espacio cúbico.

El rombo

Cortamos esta vez el cubo por un plano que entrando por un vértice sale por el opuesto, a la vez que pasa por el punto medio de las aristas que necesariamente encuentra en su camino. La sección resultante es un rombo cuyos ejes son: el mayor igual a la diagonal del cubo √3 y el menor a la diagonal de la cara √2. Por cada eje menor pueden pasar dos rombos, cada uno en sentido contrario; y como en el cubo podemos dibujar seis ejes que unan puntos medios de las doce aristas, doce serán las posiciones que el rombo pueda adoptar.

Secciones curvas


Los cuatro planos rectos que seccionan al cubo se corresponden con otros cuatro curvos, del mismo modo que si abarquillamos una hoja de papel que pase por los puntos descritos en las secciones rectas. Resultando planos o polígonos alabeados semejantes a los anteriores.

Invención del módulo

Sería realmente complejo comenzar el proceso a partir del dibujo en el plano del papel, combinando diversas secciones. Provocaría muchas confusiones dada la dificultad de imaginar las caras ocultas en la representación bidimensional.

Para ello mejor proceder dibujando directamente sobre las caras de un cubo en volumen real y de material fácil de cortar con una cuchilla como el poliestireno expandido, llamado vulgarmente corcho blanco.

De esta forma podemos manipular sus volúmenes hasta conseguir la condiciones que definen el concepto de módulo: forma poliédrica tal de modo que sus partes cóncavas sean encajables con las convexas y su volumen igual a un medio o un tercio del cubo, de manera que su espacio interno quede completamente lleno. Muchas veces hasta que no hemos visto separadamente las partes no nos damos cuenta que sus volúmenes son distintos, lo que corregiremos quitando de uno la parte sobrante y añadiéndosela al otro. En una división binaria la solución más lógica, sería seccionar ambas por otra sección modular y unir la parte mayor de una mitad, a la menor de la otra y viceversa, con lo que conseguiremos que las dos sean iguales y de idéntico volumen.

 División del cubo en ocho cubitos

 Otra manera de descubrir y comprobar la forma de un módulo será proceder a cortar el cubo por las tres secciones cuadradas. Nos quedará así dividido en otros ocho cubos más pequeños. Para la formación de un módulo binario necesitaremos la suma de las partes de cuatro cubos, y para la división ternaria serán dos mas dos tercios de cubitos que multiplicado por tres darán los ocho cubos pequeños.

 Tres módulos del cubo

La división del cubo en dos partes de forma modular, es algo perfectamente claro pues los elementos que componen el cubo son de número par: doce aristas, ocho vértices, seis caras, cuatro diagonales. Pero vemos que el número seis de las caras puede ser divisible por tres, también en partes iguales.

Si partimos de tres combinaciones básicas:

  1. 1. Dos caras enteras para cada módulo: (2)
  2. 2. Una entera y dos medias: (1 + 2 · 1/2 = 2)
  3. 3. Dos tres cuartos más dos cuartos: (2 · 3/4 + 2 · 1/4 = 2)

Otras divisiones modulares serían imposibles de hacer, pues ninguna medida del cubo sería múltiplo de 5 o 7. Los módulos resultantes de subdividir el cubo en 4, 6, 8 o 9 partes serían ya submódulos de los de 2 y 3, es decir divisiones de éstos.

Variantes de las dos primeras combinaciones, resultantes de dividir el cubo en ocho cubitos. Si a un módulo binario le correspondía 4 cubitos, a un módulo ternario en la división de 8 le corresponderán 2 + 2/3 de cubitos, que multiplicado por tres nos darán las 8 partes del cubo: (2 + 2/3) · 3 = 8.

Combinaciones del módulo

Una vez inventado y construido el módulo, podemos comenzar a jugar con él. Encajando uno con otro se forma la figura del cubo, que era de la que partíamos, pero vemos que precisamente por ser modular, es decir, tener las mismas caras, arista y volumen, tienen posibilidades múltiples de combinación consigo mismo. Juntando dos, tres, cuatro, ocho, surgen figuras que ya poco tienen que ver con la forma cúbica. Haciéndolos girar sobre si mismos, 90° o 180° hasta hacer coincidir vértices y aristas opuestas pero iguales, superponiendo caras, invirtiendo uno de ellos sobre el otro, surgen formas externos o internas que descomponen parcial o totalmente la forma cúbica de la que partían.

Aunque en principio todo módulo es combinable consigo mismo de múltiples formas, hay unos que lo son más que otros, produciendo resultados más estables, aplicándose aquí el principio de que la forma cuanto más sencilla es susceptible de mayores posibilidades de combinación.

Desarrollos del módulo

La carpeta de Recortables Geométricos publicada por la Generalitat Valenciana en el año 1986, ha sido revisada y está disponible en el documento pdf descargable aqui. Consta de ocho láminas:

  1. 1. El cuadrado
  2. 2. El rectángulo
  3. 3. El rombo
  4. 4. El hexágono
  5. 5. El cubo en tres partes
  6. 6. Sección curva
  7. 7. Módulo movil
  8. 8. La teoría del color en un módulo móvil

Se entiende por desarrollo de un cuerpo al abatimiento de todas sus caras sobre un sólo plano de proyección.

Cada figura geométrica presenta, a la hora de hacer el desarrollo, problemas distintos, sin embargo, para su trazado y posterior construcción; plegado y pegado de aristas, podemos guiarnos por unas normas generales que facilitan este proceso. El desarrollo ha de hacerse a partir de la cara mayor que le sirve de base, y alrededor de ella ir añadiendo las demás caras que tengan contacto con ella, por medio de las aristas comunes.

Las pestañas, prolongación de la cara, que sirven para pegar con ella la cara contigua, han de ser las justas para cada desarrollo y su número es la mitad de los lados del perímetro del desarrollo. Para doblar correctamente las aristas deberán ser marcadas anteriormente con una pequeña incisión de la punta de una tijera o punzón, y si dos caras doblan en sentido cóncavo, su arista correspondiente conviene marcarla por el lado contrario. La última cara que peguemos deberá ser, si es posible, la más grande después de la que nos sirvió de base, ya que dejará hasta el último momento un gran espacio por donde meter los dedos y facilitar el pegado de las anteriores. Esta cara no debe llevar adosada a ella ninguna otra, ni tampoco pestañas, de forma que pueda ser pegada presionándola en un solo sentido.