Formas Lógicas Tridimensionales


El matemático canadiense Z. P. Dienes diseñó ya hace años un material didáctico para preescolar, los Bloques Lógicos, sumamente extendidos en todas las escuelas. Básicamente consisten en el reconocimiento de formas y colores primarios y de juegos elementales de conjuntos simples. Las posibilidades de un material estructurado como éste de Dienes, son muy amplias, pero en mi opinión adolece de ciertos errores graves y carencias significativas que trato de corregir con el conjunto de Formas Lógicas Tridimensionales.

1. –Errores

Los Bloques Lógicos son formas planas o imitan a las formas planas. Éstas en realidad no existen porque no son tangibles. Todo lo que existe es tridimensional por ocupar un lugar en el espacio.

Sin embargo, las cosas las vemos como proyectadas en un plano, es como si al mirar fuésemos continuamente filmando una película. Así obra el ojo, al igual que una cámara fotográfica, siempre dibuja en perspectiva y ésta ya sabemos que no es más que la ilusión del espacio, su representación en el plano.

El gatito de pocas semanas, es víctima de una ilusión óptica y se cae por el balcón al querer pasar al balcón de la casa de enfrente en una calle estrecha. Poco a poco, con la experiencia, nuestro cerebro aprende a percibir el espacio a través de la visión plana, a medir mentalmente distancias y a ver lo que hay detrás de las cosas que no vemos porque se tapan unas a otras.

El cuadrado, el triángulo y el círculo son pues abstracciones, ya que son formas de altura cero, de muy difícil comprensión para un niño. Sólo existen como tales en el intelecto como proyecciones o sombras de otras formas tridimensionales. Una puerta, una ventana o un cuadro, no son cuadrados o rectángulos, pueden tener su forma pero en absoluto lo son. Ni tan siquiera una hoja de papel, solamente nos aparecerá como tal cuando la veamos posada sobre la mesa. Basta que la tomemos en nuestras manos para que se transforme en mil formas diferentes.

Todo lo tangible ha de ser necesariamente tridimensional y esta necesidad del niño de sentir las formas a través del tacto es lo que llevó a Dienes a hacer cuadrados, triángulos y círculos tridimensionales, lo que es imposible, pues resultaron ser prismas cuadrangulares, triangulares y cilindros bajitos.

El niño, en la percepción de esas formas, ya sea por la vista o el tacto por calco o estampación, no sólo percibe las tres formas base, sino también una serie de rectángulos alargados que le confunde. No es la primera vez que un avispado niño llama la atención de su maestro al notar que la huella de un lateral de prisma triangular no era un triángulo sino un cuadrado muy alargado.

El cuadrado tangible no será, entonces, otro que el cubo. El triangulo tangible más simple será el tetraedro. El círculo tangible será la esfera. Enseñémosles pues antes las palabras cubo, tetraedro y esfera que cuadrado, triángulo y círculo. ¿Por qué les ha de resultar más complicado? ¿Por qué han de ser más incomprensibles las formas volumétricas que las planas si aquellos son la realidad?

Un matemático me podrá decir que para medir y operar con tres vectores (el espacio) antes ha de saber hacerse con dos (el plano) y primeramente con uno (la línea). De acuerdo que sin líneas no pueden dibujar polígonos y sin polígonos no construyo poliedros, pero no estamos de momento enseñando el proceso de generación de los objetos, sino comprendiendo como es el objeto mismo. Una vez asimilada esa forma final, ya veremos como se genera.

Recordemos que aún está lejos el día en que el niño aprenda el lenguaje de los números, aún estamos en el lenguaje de los sentidos, cuando reconozca estas formas por sus cualidades sensoriales podremos comenzar a darles formas, nombres, a dibujarlas y numerarlas.

Con el niño razonaremos pues de esta manera: el tetraedro tiene muy pocas caras, el cuerpo que menos tiene y por eso pincha mucho y no rueda nada, resbala sobre una de sus caras al tirarlo sobre la mesa. El cubo tiene más, da más vueltas como el dado cuando jugamos al parchís. Cuantas más caras tiene un cuerpo más vueltas da. ¿Y la esfera?, ésta no se queda quieta por lo que debe tener muchísimas caras. ¿Cuántos puntitos negros tendría que ponerla si quisiera hacer un dado con ella...?

Son consideraciones que el niño en un principio puede y debe hacerse, pero sólo a través de único lenguaje conocido para él, el de las sensaciones.

2. –Carencias

Los bloques de Dienes están compuestos por parejas de cuadrados, triángulos y círculos, cada una de ellas pintada de un color primario. Si elegimos la pareja de cuadrados de un mismo color por ejemplo, vemos que los dos cuadrados son iguales. Solamente cuando los tomemos en la mano e intentemos ponerlos de pie notaremos una leve diferencia, uno es más grueso que otro. Pero la diferencia no está en el cuadrado sino en los rectángulos que contornean el prisma. No cabe la diferencia de grueso o delgado a la hora de hablar de formas planas, pues ya hemos dicho que éstas son de altura cero. Sólo podremos decir que puede haber cuadrados grandes o pequeños cuando un profesor avispado se preocupe en comparar dos colecciones de bloques fabricados en distinta escala. Aún así y después de haber hecho un esfuerzo de comprar dobles colecciones, hemos corregidos un error de bulto, pero continuamos con la carencia del número TRES, pues seguimos con el sistema binario.

El niño desde el momento que nace y aún antes, está siempre condicionado por el sistema binario. No existe otra cosa que su dependencia con la madre. No ha oído otro ritmo que el tic-tac del corazón materno: sístole y diástole, la aspiración y expiración de sus pulmones. Se dice que los lactantes se duermen más plácidamente sobre el brazo izquierdo de la madre por estar su cabeza más cerca del corazón y el movimiento de la cuna o los brazos al mecerlo, para que se duerma, también es de ritmo binario.

Ya es hora, cuando un niño sale por fin de la dependencia materna y acude a un colegio donde va tener muy diversas referencias, que le enseñemos lo que es el número TRES.

El número TRES, referido a tamaños es lo mediano. De manera que en las formas básicas nos aparecerán: lo grande, lo mediano y lo pequeño. ¿Qué pasa entonces? Todo se transforma, todo cambia. El grande, automáticamente, se convierte en muy grande con respecto al pequeño y a la inversa. Lo mediano ahora no es cualidad estática por lo que permanece siempre en medio, pues puede ser grande también con respecto al pequeño o pequeño respecto al grande.

El número TRES es lo creativo, pude ser cualquier cosa y es todo lo demás, adjetivando y potenciado el uno y el dos.

El sistema binario carece de creatividad. La pareja se termina en sí misma, es inmutable como el pez que se muerde la cola. Del sistema binario se han valido las religiones para no salirnos de la norma: lo bueno y lo malo, el cielo y el infierno, el yin y el yan, lo uno y lo otro, estás conmigo o contra mí... No hay término medio, no debe haber duda, todo es verdad o mentira. Es el sistema binario de los ordenadores, verdadero o falso, no pueden equivocarse porque falta el número TRES y por esta razón carecen de la facultad de pensar y consecuentemente, de crear.

En cuanto al color, sí que se me puede decir que aparece el número TRES, pues son tres lo primarios: rojo, amarillo y azul. Pero no me vale, ya que los colores primarios no son referenciables. El amarillo primario es uno, y el rojo y el azul también son unos y nada más. Todavía si jugásemos con los secundarios: naranja, verde y violeta, sí podríamos decir que el naranja se nos aparece más rojizo con respecto al amarillo y amarillento con respecto al rojo, pero estas diferenciaciones sobrepasan al conocimiento del color en estas primeras edades.

Formas Lógicas Tridimensionales

La caja de las Formas Lógicas está compartimentada en 36 departamentos donde se incluyen las siguientes figuras.

1. –Formas Base
  1. 3 cubos grandes
  2. 3 cubos medianos
  3. 3 cubos pequeños
  4. 3 tetraedros grandes
  5. 3 tetraedros medianos
  6. 3 tetraedros grandes
  7. 3 esferas grandes
  8. 3 esferas medianas
  9. 3 esferas grandes

Los tetraedros están inscritos en cubos y de las nueve esferas: 3 están enteras, 3 divididas en mitades y otras tres en cuartos. Cada serie de 3 del mismo tamaño está pintada en los colores primarios: amarillo, rojo y azul.

2. –División del cubo

Sistema binario:

Sistema ternario:

3. –Transformaciones del cubo
  1. Sección cuadrada en sección rectangular.
  2. Sección cuadrada en sección hexagonal.
4. –Rompecabezas tridimensional
  1. Relacionado con el tetraedro: de 18 piezas.
  2. Relacionado con el cuboctaedro: de 14 piezas.

Juego Libre de Construcción

La impresión que el niño recibe al abrir la caja será la de encontrarse ante sí con una serie de múltiples formas y colores más propias para jugar que como tema de trabajo y eso será lo que libremente haga primero. Se encuentra ante un juego de construcciones y como tal comienza a actuar sacándolas desordenadamente en primer lugar, para a continuación irlas agrupando según sus distintas características y conformando esquemas que tiene en la memoria.

El niño adquiere así en este juego libre y espontáneo experiencias y cualidades de la forma que posteriormente tendrán importancia en un trabajo planificado. Descubrirá que una esfera mantiene muy mal el equilibrio sobre el cubo, mientras que si utiliza la semiesfera, aunque sea colocada tangencialmente, la estabilidad es tan perfecta que hasta le permite colocar otro cubo más pequeño y hasta media esfera más.

Ejercicios de Clasificación

Formas iguales: cubos, tetraedros, esferas.

Tamaños iguales: grandes, medianos, pequeños.

Colores iguales: amarillos, rojos, azules.

Solamente con los cubos construyendo torres iguales:

Si en el primer piso de las tres torres colocamos el color amarillo, en el segundo el rojo y en el tercero el azul, ¿cómo serán esas torres?, ¿en cual de las torres se repetirá la misma organización de tamaños horizontal y verticalmente.

En las tres torres del dibujo el orden horizontal de los amarillos correspondientes al primer piso se repite, referente a tamaños, en la tercera torre. El de los rojos en la segunda y el de los azules en la primera. ¿Y si cambio el color de los distintos pisos?... Las posibilidades de variación son grandes, aprendiendo el niño a leer visualmente en todas direcciones tanto horizontal como verticalmente, de izquierda a derecha o derecha a izquierda, de arriba abajo o de abajo a arriba.

El Cuadrado, el Triángulo, el Círculo

Si apoyamos el cubo sobre un papel y calcamos con lápiz su contorno, necesariamente quedará dibujado un cuadrado.

Si hacemos lo mismo con el tetraedro, cualquiera de sus caras nos proyectará dibujado un triángulo, Y con la media esfera, el círculo.

El proceso contrario, al que estamos acostumbrados, es decir, el paso del plano al espacio, nos conduce a numerosos equívocos pues de un cuadrado, un triángulo y un círculo pueden surgir muy diversos volúmenes. Un triángulo puede generar un prisma, pero un cuadrado también. Un cuboctaedro tiene triángulos, pero también cuadrados. Es decir, de un todo es más fácil conocer cada una de sus partes, si son iguales o no y como están interrelacionadas, que tratar de pensar lo que puedo hacer con la suma de partes aisladas. Rudolf Arnheim en su libro Arte y percepción visual hace referencia a un ensayo sobre la teoría de la Gestalt que dice:

"Si doce auditores escuchan por separado uno de los doce tonos de una melodía, la suma de sus experiencias no correspondería a lo que percibiría alguien que escuchara la melodía entera."

Por lo que pretendían demostrar que la apariencia de cualquier elemento depende de la función y lugar que tiene en la configuración total. Y de esta configuración total, el volumen, el elemento tridimensional, es del que tratamos de partir.

Ejercicios de Composición de Formas Planas

1. –Composición por contacto

La relación de las aristas de los tres cubos: grande, mediano, pequeño es de 1, 3/4, y 1/2, lo que nos permite una serie de posibilidades de combinación en series o conjuntos de cuadrados que rellenan un rectángulo del papel: A + B = C.

¿Qué otras relaciones, más o menos regulares o simétricas, podemos obtener con los triángulos y las circunferencias?...

2. –Composición por superposición

A la hora de dar color a estas composiciones, quiero llamar la atención sobre un hecho muy común que raramente advertimos. En los dibujos infantiles, los niños pintan invariablemente las nubes de color azul, cuando en realidad nunca son azules. Pueden ser blancas, grises, naranjas, violáceas o rojas al atardecer, pero nunca azules. Lo que es azul es el cielo y éste lo dejan blanco. Podríamos pensar que el niño hace la siguiente deducción inconscientemente: las nubes están en el cielo, el cielo es azul, pues nubes azules. En parte esta lógica es cierta y no debe preocuparnos en niños muy pequeños, pero es un tópico que se repite a lo largo de los años, cuando ya deberían mirar al cielo más detenidamente y comprobar que esto no es así.

El problema viene desde que les hemos hecho rellenar de colores sin salirse formas cerradas individualizadas, y nunca nos hemos propuesto lo contrario, que coloreen formas sin entrar en ellas. Las composiciones superpuestas, concéntricas o no, plantean el doble problema, pues al tiempo que dan color a la más grande, han de procurar no entrar en la más pequeña pues irá de otro color. Como ejercicio de habilidad viene a ser lo mismo, la gran diferencia consiste en que al rellenar por fuera están valorando un espacio entre formas, espacio vacío, que no lo es tal en el caso de la nube, pues ese vacío, ese fondo, es el cielo.

3. –Composiciones libres

Continuando con el proceso abstracción-figuración, ya mencionado anteriormente, los niños harán composiciones libres, basadas en sus esquemas conocidos u otros nuevos motivados por estas series de formas y ayudados por todo el proceso anterior de relacionar y ordenar armónicamente o por contrastes. Convendría en este trabajo cambiar la técnica de realización, sustituyendo el papel blanco y los lápices o ceras por papeles coloreados que recortarán a mano o a tijera para realizar un collage.

División del Cubo

1. –Sistema binario: Prismas

Un plano que pase por el centro del cubo y sea paralelo a dos de sus caras lo dividirá en dos partes iguales. Su plano de corte o sección será un cuadrado igual a las caras. Si son dos planos perpendiculares entre sí lo dividirá en cuatro prismas y si lo hacen en las tres dimensiones y cumplen iguales condiciones, el cubo quedará dividido en ocho cubitos. Estos ocho cubos pequeños van pintados en distintos colores, que ordenados adecuadamente al formar un cubo grande, explican en su máxima simplificación la teoría del color tridimensional del Alfred Hickethier.

La mayoría de las explicaciones de la teoría del color están realizadas sobre diagramas planos. Tanto en el círculo cromático como en la representación de dos triángulos invertidos, uno para los colores primarios y otro para los secundarios, la cantidad de luz recibida es la misma para todos. Apreciamos en ellos diferencias de tono (longitudes de onda), pero no el grado de saturación (amplitud), es decir, el claro oscuro del color o su aproximación al blanco o al negro. Esto sólo será posible hacerlo en un diagrama tridimensional como son los poliedros y en esencial el cubo. Este, dibujado en perspectiva isométrica, presenta su perímetro como un hexágono regular en cuyos ángulos cabrían los seis colores primarios y secundarios del espectro. Pero el cubo tiene ocho vértices: seis coincidentes con el hexágono-perímetro más dos, uno delante y otro detrás, que formarán la diagonal del cubo que va del blanco al negro. En los vértices de las demás diagonales estarán los complementarios. De tal modo, cada color del hexágono-perímetro tiene su escala de saturación hacia el claro o el oscuro en su aproximación al blanco o al negro.

Hickethier diseño un cubo divido en sesenta y cuatro cubitos de colores diferentes. Dada la diversidad de nombres que a veces damos a un solo color, él utilizó una nomenclatura numérica que determinaba con total exactitud el grado de tono y saturación de cada uno de ellos. Aquí en la división del cubo en ocho cubitos, nos conformaremos de momento con los ocho principales. Los tres primarios: amarillo, rojo y azul; los tres secundarios: naranja, violeta y verde; y el blanco y el negro, que son principio y final de todos los demás.

2. –Sistema ternario: Pirámides

Mas difícil de ver es la división del cubo en tres pirámides iguales, que demostraría visualmente la fórmula del volumen de la pirámide: Ab·h/3, teniendo en cuenta que su base y su altura sean las mismas que las del cubo. La solución es un plano que pasa por la diagonal de una cara y una arista y se cruza con otro igual de una cara adyacente, cruzándose los dos en la diagonal del cubo. A cada pirámide corresponderá una cara y dos medias de las externas del cubo, lo que multiplicado por tres será igual a seis.

La división en seis está más clara pues la base de cada pirámide serán las seis del cubo y los vértices confluirán todos en su centro. Las secciones pasan por las aristas y diagonales del cubo sin cortar ninguna de sus caras. Su formulación sería (Ab·h/2)/3. Tiene la misma base que la anterior pero la mitad de la altura, pues sólo llega al centro del cubo.

El que haga mención aquí a formulaciones matemáticas no pretende, ni mucho menos, introducir en el niño estos conceptos totalmente abstractos. Es verdad que así practicamos la matemática, pero dándole un significado real. Al jugar con estas formas, objetos tangibles, deseamos que el niño acumule experiencia de la que luego nacerán los conceptos.

Estas seis pirámides van pintadas cada una de un color, cuyo orden perfecto en el cubo sería: las tres caras de los tres primarios, adyacentes a un vértice del cubo y las tres caras de los secundarios al vértice opuesto, de modo que en las caras opuestas del cubo queden los complementarios: rojo-verde, amarillo-violeta, azul-naranja.

Visualización de la Suma de Quebrados

Acabo de decir que no es momento para que el niño aprenda el significado del lenguaje matemático, pero discurrir sobre órdenes elegidos por instinto y las sensaciones que en ellos desvelan, pude llevar a encontrar estructuras formales con las que sí practican la lógica matemática.

Engorrosos problemas de sumas y multiplicaciones, de numeradores y máximos denominadores comunes, suponen la suma de quebrados cuando en realidad todo consiste en tratar de llegar al uno. El todo hecho de partes, que en este caso se llama cubo grande.

Hemos visualizado el cubo roto en dos, dividido en tres, partido en cuatro, en seis trozos iguales y despedazado en ocho cubitos mucho más pequeños. Todo estriba en volver a recomponerlo pero con distintos trozos, como si de un sencillo rompecabezas se tratase.

Así surgirán estas combinaciones:

  1. a) 1/2 + 2/4
  2. b) 1/2 + 1/4 + 2/8
  3. c) 1/2 + 4/8
  4. d) 3/4 + 2/8
  5. e) 2/4 + 4/8
  6. f) 1/4 + 6/8
  7. g) 1/2 + 1/4 + 1/8 + 3/24
  8. h) 1/2 + 1/4 +1/8 + 6/48

Todos ellos iguales a uno, nuestro gran cubo.

Los niños que han visualizado de tal manera las partes y el todo como objetos reales, tangibles, adquieren experiencias que más adelante les facilitará enfrentarse a los nuevos lenguajes que les plantean.

Transformación del Cubo

Los tetraedros presentados como formas base van inscritos en cubos. La relación entre aristas entre uno y otros es √2; diagonal de la cara del cubo igual a la arista del tetraedro.

Las cuatro partes sobrantes del cubo serán pirámides triangulares de volumen 1/6 de cubo: (Ab/2·h)/3. En este caso la mitad es el área de la base y no la altura. Por tanto, si lo que le sobra al cubo son cuatro pirámides de tales características, el volumen del tetraedro inscrito en él será de 2/6.

Continuando con el juego combinatorio y de transformación, la unión de esas cuatro pirámides sobrantes, produce otra cuadrangular, que junto a otra igual invertida nos aparecerá otro cuerpo nuevo: el octaedro.

Si ahora tomamos medio cubo cortado por la sección rectangular que pasa por dos aristas y dos diagonales de caras opuestas, esta forma aún no será identificada por el niño como la mitad, pero con una sencilla manipulación, mediante giro, de quitar por una lado una parte para añadirla a otro, la forma se le hace ya reconocible.

Con parecido procedimiento sucederá lo mismo en la transformación de la sección hexagonal a la cuadrada.

Rompecabezas Tridimensionales

El proceso de construcción de todo rompecabezas no es más que la identificación de un espacio vacío que es rellenado por otro espacio lleno idéntico. Esto que en los rompecabezas planos no tiene mayor dificultad, al traspasarlo al espacio tridimensional la visión de esos espacios se complica grandemente. La casusa es la falta de visualizaciones internas de los cuerpos sólidos. Todas las experiencias acumuladas han sido exclusivamente a través de descripciones externas, es decir, conocemos únicamente la forma de su piel y poco o nada de lo que dentro contiene.

Baste decir que todos los poliedros, platónicos y arquimedianos, pueden ser continentes o estar contenidos en otro, para entrever las múltiples posibilidades de juego entre ellos. Un octaedro contenido en un cubo, las partes sobrantes de éste son totalmente diferentes en forma y número al caso inverso, en el que el octaedro sea el continente y el cubo el inscrito en él.

En la caja de las formas lógicas presento dos rompecabezas. Uno del cubo dividido en 18 piezas y que dentro contiene al tetraedro cortado en dos partes iguales por su sección cuadrada. Y otro de 14 piezas, en el cual el cubo circunscribe al cuboctaedro, troceado en 6 partes, cada una de ellas correspondiendo sus 6 cuadrados con parte de las 6 caras del cubo.